如何描述一个匀速向前运动的微观粒子？量子力学的物质波与经典力学的声波和光波有什么不同？波包的速度可以超越光速吗？
对匀速向前传播粒子的描述
的一般解，然后讨论了一个束缚在一点的狄拉克δ粒子和一个用高斯波包描述的粒子随时间的演化。
上一节直播课中，张朝阳分析到，初始时刻在坐标空间（x空间）中的一个高斯分布：
对应到动量空间（k空间）中仍然是一个高斯分布：
此时，可以验证海森堡不确定性原理：
此后，随着时间推移，粒子在k空间中的分布会保持不变，但是在x空间中的分布会逐渐变得宽且平。同时，我们无法再让不确定性原理取得等号，而是逐渐变大：
吗？答案是否定的。令这个波包分别对时间求一阶偏导数和对空间求二阶偏导数：
也许可以描述一个平移的过程，但并不能体现出波函数的弥散现象。
那么该如何描述一个向前传播的波包呢？让我们首先重新回顾自由粒子薛定谔方程一般解的形式：
注意在这里φ(k)是k空间上的任意分布，而不是局限于高斯分布。在这里，张朝阳试图探讨最一般的表达形式，它将比人为构造的模型更为真实，结论也更为可信。如果记：
波函数又可以写为：
其中v刻画了波的传播速度。将一个单色波：
代入方程中，可以得到：
也即是：
由傅里叶变换的定义不难看出：
所以在经典力学中，一个初始时刻波形为f(x)的波包，在t > 0时的分布可以直接通过取替换：
对波包运动的描述：相速度和群速度
现在让我们再一次忘掉高斯波包，考虑最一般的情况：
是一个向前传播的正弦波波包，它的速度是：
两边对时间t求全导数，应该有：
得到点或者小球的前进速度：
于是又能得到：
如果ψ描述一个量子力学中的物质波，注意它只有概率密度：
才是有物理意义的。这里g是一个关于x-ω't的实函数，也是一个传播的幅度。同样的逻辑，我们可以得到它的群速度是：
代入薛定谔方程给出的色散关系：
能够计算出群速度为：
和粒子的经典运动速度恰好保持一致。而对应的相速度：
波包的速度可以超光速吗？
如果对于一个相对论性的微观粒子，爱因斯坦给出质能关系：
这里m_0指粒子的静止质量，这个关系一般又被称为相对论性色散关系。如果在左边对p取微扰，右边对E取微扰，可以得到：
整理后即：
当微扰非常小时：
进一步，注意到：
其中m指代“动质量”，v指代粒子运动速度，有：
而另一方面，粒子的相速度：
它将比光速更大！这会违反相对论吗？张朝阳评述道，这里要注意区分两种速度的不同意义。相速度只是波函数上某点自身的前进速度，表征的是一个相位的偏移，不能传递任何真实的信息。而群速度则相反，他直接与波包和外部相互作用相关，传递着物理的、真实的信息，它才对应着物理意义上的波包行进速度。通过计算，可以发现它将保持小于光速，并不会违反相对论光速最大原理。
（张朝阳推导相对论性波包的群速度与相速度）
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本节课相关视频如下：
薛定谔方程的行波解
相速度与群速度的物理意义
薛定谔方程的色散关系