可以证明，(Δx,Δy,Δz)/Δl构成了沿着面元法向的单位矢量n，因此导热定律也可以写成
热流也习惯于用矢量的方式表示为q = -κ∇T。
而对于等号左边，在不考虑介质的空间运动时，依热力学第一定律，其失去的热量总等于其内能的降低。因此我们可以写出
为了方程的简洁，我们记α = κ/(cρ)，则方程可以简写为
这是一个关于温度场的偏微分方程，也被称为热传导方程。
一维情形的热传导
作为一个例子，我们来展示一维情形的热传导方程如何处理：
我们假设介质各处的热导率κ，比热容c和密度ρ都是均匀的，且不随时间变化，则α = κ/(cρ)是一个与空间位置和时间无关的常数，也被称为热扩散率。我们可以通过分离变量法来处理这样的方程，它的基本流程如下：我们假设温度场有着分离变量的形式，即T(t,x) = g(t)h(x)，将此形式代入方程来找到令方程成立的未知函数g,h。整理得到
可以看到，方程左边只是t的函数，而右边则只是x的函数。这样的等式要想成立，只有一种可能性，即等号两边为一个相等的常数，记作λ。从而我们能够得到对应的解：
其中k = √(-λ/α)。完整地求解这样的偏微分方程需要我们根据边界条件选择适当的h(x)的形式以及允许的λ的值，然后根据初始条件来确定剩余的未知系数。通常在恒温或者绝热边界条件下，我们预期经过足够长的时间之后，介质会达到稳恒状态并具有确定的温度，而不会无限制的增长。这要求λ的许可值为负数，而三角函数求两次导数刚好会出一个负号，这也是我们选择三角函数形式的h的原因。
我们通过一个具体的情景来展示上面描述的普遍求解流程是如何进行的。考虑一个有限长的导热杆，其长度为a且左端点置于原点处，即0 ≤ x ≤ a，我们选择两端恒定温度的Dirichlet型边界条件的情形进行研究。正如上面的分析，普遍的解的形式应当有
式中T∞是一个常数项，它对应于时间足够长后稳恒状态的温度，亦即两端恒温热源的温度。那么边界条件就要求后面的三角级数在x = 0和x = a处总是为0。为了满足这个要求，我们必须要求余弦函数的系数均为0，同时正弦函数中存在ka = nπ，其中n为整数。这样，边界条件的存在将方程的可能解约束为
接下来，我们需要通过初始条件来确定系数cn。设初始时的温度场满足T(0,x) = f(x)，即应当有
这个形式事实上就是在把函数f(x)展开成为三角级数。利用三角函数的正交性:
以及
我们可以给出系数的表达式
因此我们就能给出这个问题里每一时刻的温度场
无穷长导热杆的热传导问题
从中可以反解出
那么三角函数形式的解的一般形式就可以写为
令系数
注意一般的ck不再是实数。
我们现在考虑利用初始条件T(0,x) = f(x)来确定系数ck的值。应当有
等号两边乘e-ik'x并对全空间积分，利用Dirac-δ函数的性质：
我们得到
从而可以写出系数的形式：
代入前面的解的普遍形式，我们有
如果我们定义函数
本节课相关视频如下：
无限长杆的形式解
解的讨论与格林函数计算
利用初始条件求系数